第六章 统计量与抽样分布

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数理统计是一门以数据为基础的学科, 可以定义为收集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、 原则和方法。

1. 随机样本与统计量

• 数理统计主要任务是从总体中抽取一部分个体, 根据这部分个体的数据对总体分布给出推断. 被抽取的部分个体叫做总体的一个 样本.
• 随机样本：从总体中随机地取n个个体, 称为一个随机样本。
• 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称为容量是n的简单随机样本。
• 代表性:每个\(X_i\)与X同分布
• 独立性:\(X_1,X_2,...,X_n\)是相互独立的随机变量
• 常用统计量:
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2. \(\chi ^2\)分布,\(t\)分布,\(F\)分布

2.1. \(\chi ^2\)分布(卡方分布)

• 性质:
• 可加性:\(\chi^2(m)+\chi^2(n)=\chi^2(m+n)\)
• 数学期望和方差:\(E(\chi^2(n))=n,Var(\chi^2(n))=2n\)
• 
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t分布

• 当n足够大时,t分布近似与标准正态分布\(N(0,1)\)
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F分布

• 如果\(F\sim F(n_1,n_2)\),则\(\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)\)
• 如果\(X\sim t(n)\),则\(X^2\sim F(1,n)\)
• 

3. 正态总体下的抽样分布

设\(X_1,X_2,...,X_n\)为来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的简单随机样本,\(\overline{X}\)是样本均值,\(S^2\)是样本方差,则:

\[\overline X\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\]

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\]

\[\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1),\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)\]

\[\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\]