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第四章 随机变量的数字特征

1. 数学期望

\[E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\]

1.1. 泊松分布的数学期望

\[E(X)=\lambda\]

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1.2. 指数分布的数学期望

\[E(X)=\frac{1}{\lambda}\]

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1.3. 数学期望的特性

  • \(E(C)=C\)
  • \(E(CX)=CE(X)\)
  • \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
  • 若\(X,Y\)相互独立,\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

2. 方差

设X是随机变量，若 \(E\{[X-E(X)]^2\}\)存在，则称其为\(X\)的方差，记为\(Var(X\))或\(D(X)\),即

\[Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\}\]

将\(\sqrt{Var(X)}\)记为\(\sigma(X)\)称为\(X\)的标准差或均方差，它与\(X\)有相同的量纲.

  • \(Var(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\)
  • \(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)

2.1. 两点分布的方差

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2.2. 泊松分布的方差

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2.3. 均匀分布的方差

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2.4. 指数分布的方差

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2.5. 二项分布的方差

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2.6. 正态分布的方差

正态分布的两个参数\(\mu ,\sigma^2\)分别是该分布的数学期望和方差

  • 标准化变量:设随机变量\(X\)具有数学期望\(E(X)=\mu\)方差\(Var(X)=\sigma^2\ne 0\),记\(X^*=\frac{X-\mu}{\sigma}\)则称\(X^*\)是\(X\)的标准化变量

方差的性质:

  • \(Var(C)=0\)
  • \(Var(CX)=C^2Var(X)\)
  • \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)\}\)
  • 若\(X,Y\)相互独立,则有\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)

3. 协方差、相关系数

3.1. 协方差:

\[Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=E(XY)-E(X)E(Y)\]
  • 方差性质的补充:\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\)
  • 协方差的性质:
  • \(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)
  • \(Cov(X,X)=Var(X)\)
  • \(Cov(aX,bY)=ab\cdot Cov(X,Y)\)
  • \(Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\)

3.2. 相关系数:

\[\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\]

  • 相关系数的性质:

  • \(|\rho_{XY}| \le 1\)

  • \(|\rho|=1\)时,\(Y=a+bX\)

  • \(\rho=0\)时

    • \(Cov(X,Y)=0\)

    • \(E(XY)=E(X)E(Y)\)

    • \(Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\)

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4. 其它数字特征

略

表1

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