第三章 多元随机变量及其分布

---

1. 二元离散型随机变量

定义：设\(E\)是一个随机试验，样本空间\(S=\{ e\}\)；设\(X=X(e)\)和\(Y=Y(e)\)是定义在\(S\)上的随机变量，由它们构成的向量\((X,Y)\)叫做二元随机变量或二维随机变量。

---

1.1. 联合概率分布

定义：若二元随机变量\((X,Y)\)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称\((X,Y)\)是离散型随机变量。

1.2. 边际分布

联合分布律:

边际分布律:

• 联合分布律的行/列求和
• \(P(X=x_i)=P(X=X_i,Y<+\infty)=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i\cdot}\ , i=1,2,\cdots\)
• \(P(Y=y_j)=P(X<+\infty,Y=Y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=p_{\cdot j}\ , j=1,2,\cdots\)

1.3. 条件分布

条件分布律:(以\(X\)的条件分布律为例,\(Y\)同理)

\[P(X=X_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}\]

2. 二元随机变量的分布函数

2.1. 联合分布函数

定义：设\((X,Y)\)是二元随机变量,对于任意实数\(x,y\)，二元函数\(F(x,y)=P\{ (X\le x) \cap (Y \le y) \}=P(X\le x,Y\le y)\)称为二元随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数.

2.2. 边际（边缘）分布函数

定义:二元随机变量\((X,Y)\)作为整体，有分布函数\(F(x,y)\)其中\(X\)和\(Y\)都是随机变量，它们的分布函数, 记为\(F_X(x),F_Y(y)\)称为边际分布函数.

• \(F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,Y\le +\infty)=F(x,+\infty)\)
• 同理\(F_Y(y)=F(+\infty,y)\)

2.3. 条件分布函数

在\(\{X=x_i\}\)条件下,\(Y\)的条件分布函数为:

\[F_{Y|X}(y|x_i) = P(Y\le y|X=x_i)=\lim _{\delta \rightarrow{0^+}}P\{Y\le y|x<X\le x+\delta\}\]

3. 二元连续型随机变量

3.1. 联合概率密度函数

e.g:

*通过画图解决

3.2. 边际（边缘）概率密度函数

设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为\(f(x,y)\)则X,Y的边际概率密度函数分别为

e.g:

3.3. 条件概率密度函数

e.g:

3.4. 二元均匀分布

若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域D上取值，且具有概率密度函数

则称(X,Y)在D上服从均匀分布。

3.5. 二元正态分布

4. 随机变量的独立性

• 若\(F(x,y)=F_x(x)\cdot F_y(y)\),\(X,Y\)独立.

5. 二元随机变量函数的分布

5.1. \(Z=X+Y\)的分布

• 若\(X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)\)则\(Z=X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx\]

当\(X,Y\)相互独立时:

• 卷积公式:

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\]

• 

• e.g:设随机变量（X,Y）的联合密度函数为\(f(x,y)=3x,0<y<x<1\),记\(Z=X+Y\),求\(Z\)的概率密度函数.

5.2. \(M=\max\{X,Y\},N=\min\{X,Y\}\)的分布

\[F_\max (z)=F_X(z)F_Y(z)\]

\[F_\min (z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))\]

• 串联min
• 并联max
• 备用