第一章概率论的基本概念

1. 样本空间，随机事件

1.1. 随机试验

可以在相同条件下重复进行；
事先知道可能出现的结果；
进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。

e.g ：抛硬币

1.2. 样本空间

定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e},称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件。

e.g："一枚硬币抛一次"的样本空间是 $S = \{正面H,反面T\};$

1.3. 随机事件

定义：一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A。当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。

由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。
记ϕ 为空集，不包含任何样本点, 则每次试验ϕ 都不发生, 称ϕ 为不可能事件。

概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统”。

2. 频率与概率

2.1. 频率

定义：记$f_n$为A在这n次试验中发生的频率$f_n(A)=\frac{n_A}{n};$

是A发生的次数(频数)

n是总试验次数

频率 $f_n(A)$ 反映了事件A发生的频繁程度

2.2. 概率

定义：对样本空间S中任一事件A，定义一个实数P(A)，满足以下三条公理：

非负性：$P(A) \geq 0;$
规范性：$P(S) = 1;$
可列可加性：若$A_1,A_2,\cdots,$两两不相容,则$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$.称$P(A)$为事件A的概率
概率的加法公式:$P(A\cup B) = P(A)+P(B);$
推论:$P(A\cup B) \leq P(A)+P(B);$

3. 等可能概型

等可能概型又称古典概型

定义:如果随机事件满足:

$S$中样本点数有限;
$\forall i,j \in \{1,2,\cdots,n\},P(e_i)=P(e_j)$, 即等可能;

则该试验问题为等可能概型

有如下性质:若总事件个数为$N,A$为$n$个基本事件的和事件则$P(A)=\frac{n}{N}$.

4. 条件概率

定义:$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\ \ \ \ P(A) \neq 0$

乘法公式: $P(AB)=P(A)\bullet P(B|A)=P(B)\bullet P(A|B)$
全概率公式:$P(A) = \sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)$
贝叶斯公式:$P(B_k|A)=\frac{P(B_kA)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)};$
其中,我们称$P(B_j)$这种事先知道的概率为先验概率;而$P(B_j|A)$这种,当事件A发生后需要修正$B_j$的概率为后验概率.

e.g:有二个箱子，第1箱装有5件正品2件次品，第2箱装有3件正品2件次品。现从第一箱中随机取1件放到第2箱，然后从第2箱中随机取出1件。(1) 求第二次取到的是次品的概率; (2) 若已知第二次取到的是次品，求第一次取到的也是次品的概率。

解:设A,B分别表示从第1，2箱取到次品

(1)由全概率公式.

(2)由Bayes公式,

5. 事件的独立性与独立试验

5.1. 独立

定义:设$A,B$为两个随机事件,若有$P(AB)=P(A)P(B)$,则$A,B$相互独立,其实际意义是,事件$A$的发生与事件$B$的发生互不影响.

推论:

$while P(AB)=P(A)P(B),\ \ P(A|B)=P(A);$
当出现两个以上的随机事件时，如三个随机事件$A,B,C$，当： $$ P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)(C) $$

都成立，则称事件$A,B,C$两两独立；

如果同时还满足:$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$则称事件$A,B,C$相互独立
相互独立$ \Rightarrow $两两独立

5.2. 独立试验

定义:$\{A_i\}$相互独立当且仅当$\forall i_j,P(\prod_{j=1}^{k}A_{i_k})=\prod^{k}_{j=1}P(A_{i_j})$

设一个试验是由一系列子试验组成，

独立试验：指任一次子试验出现的结果都不影响其他各子试验出现的结果；例如观察十期彩票的开奖结果，是独立试验.

重复试验：如果各子试验是在相同条件下进行的。

第一章 概率论的基本概念